Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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Provar que $\phantom{X}{(1 - i)}^2 = -2i\phantom{X}$ e calcular $\phantom{X}{(1 - i)}^{96} + {(1 - i)}^{97}\phantom{X}$.

 



resposta: $2^{48} \centerdot (2 - i)$
×
Calcular as seguintes potências de $i$:
a) $\;i^{76}$
b) $\;i^{110}$
c) $\;i^{97}$
d) $\;i^{503}$

 



resposta:
×
(ITA - 2004) Considere todos os números $\phantom{X}z\,=\,x\,+\,iy\phantom{X}$ que têm módulo $\phantom{X}\dfrac{\sqrt{7}}{2}\phantom{X}$ e estão na elipse $\phantom{X}x^2 + 4y^2 =4\phantom{X}$. Então o produto deles é igual a:
a)
$\dfrac{25}{9}$
b)
$ \dfrac{49}{16}$
c)
$\dfrac{81}{25}$
d)
$\dfrac{25}{7}$
e)
$4$

 



resposta: (B)
×
(ITA - 2004) A soma das raízes da equação$\phantom{X}z^3 + z^2 - |z|^2 + 2z = 0\phantom{X}$, $z \in \mathbb{C}\;$, é igual a:
a)
$-2$
b)
$-1$
c)
0
d)
$1$
e)
$2$

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real. Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:
a)
$\;\sqrt{3}\;+\;i\phantom{X}\;$.
b)
$\;2(\sqrt{3}\;+\;i)$.
c)
$\;2(\sqrt{2}\;+\;i)$.
d)
$\;2(\sqrt{2}\;-\;i)$.
e)
$\;2(\sqrt{3}\;-\;i)$.
 
 

 



resposta: (B)
×
(ITA - 2012) Se $\;arg\: z = \dfrac{\;\pi\;}{\;4\;}\;$, então um valor para $\;arg(-2iz)\;$ é:
a)
$-\frac{\pi}{2}$
b)
$\frac{\pi}{4}$
c)
$\frac{\pi}{2}$
d)
$\frac{3\pi}{4}$
e)
$\frac{7\pi}{4}$

 



resposta: (E)
×
(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:

a)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.
d)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.
b)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\,\subset \mathbb{R}\phantom{X}$.
e)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ possui dois elementos.
c)
$\phantom{X}S_1\phantom{X}$ possui apenas dois elementos distintos.

 



resposta: alternativa D
×
(ITA - 1990) A igualdade $\;1 \,+\, |z|\,=\,|1\,+\,z|\;$, onde $\phantom{X}z\,\in\,\mathbb{C}\phantom{X}$, é satisfeita:

a)
para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Rez\,=\,0\,$ e $\,Imz\,<\,0\,$.
b)
para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Rez\,\geqslant\,0\,$ e $\,Imz\,=\,0\,$.
c)
para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,|z|\,=\,1\,$.
d)
para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Imz\,=\,0\,$.
e)
para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Imz\,<\,1\,$.

Nota: $\,\mathbb{C}\,$ denota o conjunto dos números complexos, $\,Rez\,$ a parte real de $\,z\,$ e $\,Imz\,$ a parte imaginária de $\,z\,$.

 



resposta: alternativa B
×
(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por $\,Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\,=\,C\,$ onde $\,z\,$ é um complexo não nulo e $\,C\,$ é uma constante real positiva. Para $\,C\,$ temos uma
a)
circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,C\,$.
b)
circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.
c)
circunferência tangente ao eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.
d)
circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.
e)
circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

 



resposta: (D)
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(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

 



resposta: a) $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$; $\,-i\,$; $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$;
b) 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
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Veja exercÍcio sobre: números complexos imaginários forma algébrica